Hijo de Giovanni Fischietti, nació en Nápoles y estudió en el Conservatorio de Sant'Onofrio en Porta Capuana bajo la dirección de Leonardo Leo y Francesco Durante.

Su primera ópera, “L’Armindo”, se estrenó en 1742 en el Teatro dei Fiorentini de Nápoles, aunque existen dudas sobre si pudo empezar a componer a una edad tan temprana, quizás por su padre. En 1755 estuvo en Venecia para presentar “Lo speziale”, su primera ópera con libreto de Carlo Goldoni . A partir de este momento, en Venecia y en otros lugares, disfrutó de un éxito considerable con la puesta en escena de varios dramas lúdicos goldonianos: a corta distancia siguieron “La ritornata a Londra” en 1756, “Il mercato di Malmantile” en 1758, “Il signor dottore” también en 1758 y “La fiera di Sinigaglia” en 1760. Estas obras, todas drammi giocosi, representan el principal reclamo de fama de Fischietti.

En 1764, se mudó a Praga , donde se asoció con el empresario Giuseppe Bustelli en el Divadlo v Kotcích ("Kotzentheater" alemán). Además de una serie de óperas, se sabe que el oratorio “La morte d'Abel” de Fischietti se representó en este teatro en 1763. En 1766 se convirtió en maestro de capilla de la corte, director de música sacra en Dresde junto a Johann Gottlieb Naumann y director de la Ópera Buffa. En 1772 fue despedido porque no había estado a la altura de las expectativas.​

Dejó Dresde y viajó primero a Viena y luego a Salzburgo, donde se convirtió en maestro de capilla del príncipe-arzobispo, el conde Hieronymus von Colloredo-Mannsfeld (1772-1775) y profesor en el Institut der Domsangerknabenz (1779-1783). En 1775 compuso una “Serenata” para celebrar la visita allí del archiduque Maximiliano Francisco de Austria; fue para la misma ocasión que Wolfgang Amadeus Mozart compuso su ópera “Il re pastore”. Hasta 1783 su nombre estuvo ligado al cargo de maestro de capilla titular, pero en este puesto parece haber prometido más de lo que logró, después de lo cual se perdió todo rastro de Fischietti. Mozart se burla repetidamente de él en sus cartas.